الاقتران التربيعي

حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع


الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر

خطوات الحل

أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر


ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه


ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين


رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2


خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .


سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين


مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 + 4س – 16 = صفر


بإضافة + 16 للطرفين2س^2 + 4س = 16


بالقسمة على معامل س^2 وهو 2 س^2 + 2س = 8


معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1

بإضافة 1 للطرفين س^2 + 2س + 1= 8 + 1

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 1 )^2 = 9


بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان


هما ( س + 1 )^2 = 9 س + 1 = 3


بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3


بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}


مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 8س + 15 = صفر


بإضافة -15 للطرفينس^2 - 8س = -15


معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س^2 - 8س + 16 = -15 + 16

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 4 )^2 = -15 + 16 ( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما


س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1


بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }



مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 4س = 12

معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4

س^2 - 4س + 4 = 12 + 4

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 12 + 4( س - 2 )^2 = 16

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6

أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2

مجموعة الحل = { 6 ، -2 }

تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4س^2 - 16س + 12 = صفر

بإضافة - 12 للطرفين4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4 س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4

س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 1

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3
أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1

مجموعة الحل = { 3 ، 1 }


تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3 س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 2 )^2 = صفر

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2

مجموعة الحل = { -2 }

ملاحظة :
المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )

تطبيق :
جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 - 12س + 20 = صفر

بإضافة - 20 للطرفين2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2 س^2 - 6س = -10

معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9

س^2 - 6س + 9 = -10 + 9

نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 3 )^2 = -1


بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل



شرح آخر :

* الصّورة العامّة للاقتران التربيعي:



قطع مكافئ... يلزمني لأرسمه رسماً تقريبياً:
معرفة إحداثيات نقطة الرأس، وهل فتحة القطع لأعلى أم لأسفل.

1- الإحداث السّيني لنقطة الرأس =

2- بعد أن أجد قيمة س نقطة الرأس أعوّضها في المعادلة المُعطاة؛ فأجد ص نقطة الرأس.

3- أعيّن نقطة الرأس الناتجة معي على المستوى الديكارتي.

4- أنظر إلى أ في المعادلة المُعطاة؛ فإذا كانت موجبة أجعل فتحة القطع لأعلى، وإذا كانت سالبة تكون فتحة القطع لأسفل.



جرّب أن تجد بنفسك إحداثيات نقطة الرأس، واتجاه فتحة القطع... من المُعادلة.

** علينا معرفة ما يلي جيّداً:

! - يكون لكل قطع مكافئ نقطة تقسم منحناه إلى نصفين متماثلين وتسمى هذه النقطة رأس القطع، الإحداث السّيني لها هو: س = وأجد الإحداث الصّادي لها بتعويض س في المعادلة المعطاة.

ب - ينتهي محور تماثل القطع المكافئ في نقطة رأسه لذلك نسمّيها نقطة نهاية عظمى (إذا كانت فتحة القطع لأسفل - كالجبل) أو صغرى (إذا كانت فتحة القطع لأعلى - كالقاع).

أ - يوجد لكل قطع مكافئ محور تماثل يقسمه إلى نصفين متماثلين؛ معادلته: س = وإن كانت إحداثيات نقطة الرّأس معلومة نأخذ س نقطة الرّأس. س=س نقطة الرّأس.

د- لأجد نقاط تقاطع الاقتران مع محور الصّادات أعوّض س = صفر في المعادلة المُعطاة.

هـ- حلول، أو أصفار، أو جذور المعادلة (الاقتران) هي نقاط تقاطع القطع المكافىء مع محور السّينات (ص = صفر) فإذا كان المميّز موجب نقول أنّ للاقتران جذران مختلفان أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطتين، وإذا كان المميّز صفراً يكون للاقتران جذران متساويان (تجاوزاً نقول: جذر واحد) أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطة واحدة هي نقطة الرأس، أي أنّ قيمة الجذر = وهي الإحداث السّيني لنقطة الرأس، وإذا كان المميّز سالباً نقول أنه لا يوجد جذور حقيقيّة للاقتران وبيانياً لا يقطع الاقتران محور السّينات.

تدريب:

أستخرج من الرّسوم التالية:

1- نقاط التقاطع مع محور ص
2- نقاط التقاطع مع محور س
3- إحداثيات نقطة الرأس.
4- معادلة محور التماثل







و- ليكون التمثيل البياني أكثر دقة أفترض نقاطاً سينيّة على يمين ويسار الإحداث السّيني لنقطة الرّأس وأعوّضها في المعادلة المعطاة لأجد ص لها، ثمّ أعيّن الأزواج المرتبة الناتجة من الفرض والتعويض على المستوى الديكارتي وأصل بينها جميعاً. أمثلة بالرّسم:













من مواضيع شوق <A onclick="return false" href="newreply.php?do=newreply&p=417398" rel=nofollow> شوقمشاهدة ملفه الشخصيالبحث عن المزيد من المشاركات المكتوبة بواسطة شوق

بارك الله فيك
وجعله في ميزان حسناتك

يسلمو عبير على الموضوع

الله يجزيك الخير والجنة ..

بارك الله فيك
وجعله في ميزان حسناتك

مشكورة عبير على الموضوع الجميل والشرح

شكرررررررررررا